教 学 简 报

第 213 期

深化有科大特色的教学改革进展之五十一

大学数学授课模式的突破性改革——数学实验课

利用实验的手段激发学生的兴趣和潜能：“过程即是成功”

我校数学系主任李尚志教授在研讨班上的发言引起了热烈的反响。代表们对科大的作法普遍给予了赞赏。下面是李尚志教授在大会上的发言稿现全文予以刊登，以期促进我校各学科的课程体系的改革向着积极、稳妥、创新的方向发展。

（姜萍）

中国科技大学 "数学实验课" 试点情况介绍

在大学中开设数学实验课, 是原国家教委（现教育部）‘高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划'课题组提出的。 该课程的教学对象, 是全国所有高校, 不分理工农医等科类的本科生。 课程目的, 是使学生掌握数学实验的基本思想和方法,即不把数学看成先验的逻辑体系, 而是把它视为一门 ‘实验科学', 从问题出发,借助计算机, 通过学生亲自设计和动手, 体验解决问题的过程, 从实验中去学习、探索和发现数学规律。

这是在我国高等学校中新开设的一门课程, 还处于摸索和试点阶段。 课程的指导思想、上课内容和方式都有待于在试点中逐步明确。 该课程在数学专业和非数学专业都要开设, 因此，也是数学专业课题组和非数学专业课题组共同的任务。

我校由数学系李尚志教授主持, 陈发来教授、王树禾教授、侯定丕教授、吴耀华副教授、张韵华副教授等参加。在1998年2月至7月这一学期中, 面向全校学生试点开设了这一课程。 为了真正检验我们的试点课程效果, 看它是否能够引起学生的兴趣, 是否能够达到预想的教学效果, 是否适合于各不同专业的学生,我们采用了选修课的形式, 让全校所有专业的学生自由选课。 结果, 选课人数达到 160人左右, 其中数学系学生70人左右, 非数学系的学生约 90人。 选课学生来自少年班、数学、近代物理、力学、化学、电子、生物、精密机械、自动化、计算机、能源、材料、管理等各个不同的系, 几乎涵盖了所有的系科和专业,(还有一部分学生是因课时冲突未能选这门课)。 学生们不但对于听课很有兴趣,而且主动积极地完成所布置的实验作业, 在作业中也表现出了很大的兴趣和创造性。 我们认为试点效果是好的。 同时, 在试点中我们自己也不断有新的体会, 通过教学效果的反馈不断修正自己的想法和作法。

教育部高教司1998年6月23日以教高司[1998]58号文，已经将我们列入《高等学校理科“九五”教材建设规划》第一批立项编写教材的项目之一, 编写《数学实验》教材。

以下是我们对于开设数学实验课的想法和做法。

一、指导思想:

让学生自己通过动手去体验, 而不在于教了他们多少内容。 不追求内容的系统性、完整性, 而应当激发学生自己动手和探索的兴趣。

我们参照了物理实验课、化学实验课的内容和上课方法: 这些实验课并不需要花多少时间讲解理论和原理, 讲解理论和原理是物理、化学的理论课程的任务。实验课主要是学生自己做实验, 观察和分析实验结果。 我们认为, 数学实验也应当这样, 不要在数学实验课上讲很多理论, 也不应当花很多时间和精力来教算法。但是, 有的物理、化学实验课也有一些弊病, 往往是把实验的每个步骤都给学生规定得很详细, 学生只须按步就班完成这些步骤, 而实验的结果也是预先就知道了的,留给学生探索的余地不多。 我们在设计数学实验课的时候就努力避免这种情况,尽量留些问题让学生自己去设计方法来解决, 避免把实验课变成单纯传授计算技术的课程。

在设计数学实验内容的时候, 虽然我们也有意识让学生通过实验学会一些基本的方法, 但是我们并不以这些方法为线索组织课程内容。 我们设计了一些能够引起学生兴趣的问题, 每个实验围绕解决一个或几个问题来展开, 教学生使用若干种方法来解决所给的问题, 在解决问题中学习和熟悉这些方法, 自己观察结果,得出结论。 比如, 围绕计算圆周率的近似值这一问题学习数值积分法、泰乐级数法、蒙特卡罗法、分数向无理数的最佳逼近; 围绕光的折射定律和最速降线学习各种优化方法; 围绕天体运动规律学习微分方程的数值解法; 等等。

我们认为, 尽管数学专业和非数学专业的学生的数学课程的难易程度有很大的差别, 但数学实验课对他们来说却不必有多大的差别, 基本的部分完全可以是共同的, 只有一些理论较深的部分可以根据各自的情况有所取舍。 我们在试点中的体会是, 学生完成实验作业的难易主要不在于对数学知识的掌握程度, 而是运用计算机能力的差别。 我们感到, 开设数学实验课以二年级为宜, 学生学过高等数学中必要的基本概念即可, 不必学过很多的数学定理。 这样, 就可以有比较多的未知的东西供他们去探索。 已学的东西太多, 学生对探索的兴趣反而下降。

我们设想, 数学实验可以包括两部分主要内容: 第一部分是基础部分, 围绕高等数学的基本内容, 让学生充分利用计算机及软件的数值功能和图形功能展示基本概念与结论, 去体验如何发现、总结和应用数学规律。 另一部分是高级部分,以高等数学为中心向边缘学科发散, 可涉及到微分几何, 数值方法, 数理统计,图论与组合, 微分方程, 运筹与优化等, 也可涉及到现代新兴的学科和方向, 如分形、混沌等。 这部分的内容可以是新的, 但不必强调完整性, 教师介绍一点主要的思想, 提出问题和任务, 让学生尝试通过自己动手和观察实验结果去发现和总结其中的规律。 即使总结不出来也没有关系, 留待将来再学, 有兴趣的可以自己去找参考书寻找答案。 比如我们设计了一个实验让学生画分形的图形。 这些图形的画法很简单, 但画出来的结果却让学生感到神奇, 引起他们极大的兴趣, 很多学生自己到图书馆找了有关分形的参考书来看。

二、关于数学实验课与一些相关课程的区别和联系, 我们有如下看法:

与计算方法、统计方法、优化方法等课程的区别和联系: 数学实验课尽管也要介绍和用到数值计算方法、统计方法、优化方法, 但是不应取代这些课程。 否则, 学生会失去兴趣, 认为反正还要上这些课程, 何必上数学实验课呢? 为划清这一界限, 我们主张, 数学实验课所用到的方法应当比较简单和浅显, 可以由高等数学课程中的内容很快推出来, (其推导难度只应相当于高等数学作业题), 而不需要花时间和精力作专门的讲解。 而关于专门的、比较精细的专门方法的讲解,则留给这些课程去完成。 当然, 这些课程本身也应改革, 不能纸上谈兵, 也应有学生自己动手实践作为重要环节。

与数学建模课的区别和联系: 数学建模与数学实验课都要用到计算机。 但数学建模课是让学生学会利用数学知识和计算机手段来解决实际问题, 而数学实验课是在计算机的帮助下学习数学知识。 一个是用, 一个是学, 两者的目标不同。从选材来说, 我们主张两者都要从问题出发而不从概念出发。 但数学建模强调问题的实用性而不强调普遍意义, 解决问题本身就是目的; 而数学实验课可以从理论问题出发, 也可由实际问题出发, 但这个理论问题或实际问题最好是比较经典的、具有普遍意义, 让学生以解决问题为线索总结规律, 学到知识。

与高等数学课的区别和联系: 都是为了学知识, 但学习方法很不相同。 高等数学课主要是由教师传授知识, 而数学实验课则希望通过学生自己动手和观察去体会这些知识是怎样得出来的。

与计算机课程的联系: 对于非计算机专业的学生来说, 计算机知识 (包括计算机语言以及软件的使用等) 只是一种工具。 好比学语言, 不能只停留于学一个个的单词和一条条的语法规则, 而必须通过阅读课文来学。 并且, 学了就要用,就要读报纸, 读小说等。 教计算机语言也是这样, 应当结合解决一定的问题来学,学了就要用来解决问题, 才有兴趣学, 才能学得会, 才不会忘记。 但现在大学里的计算机语言课和其它课程(特别是数学课程)脱节, 导致很多学生学习计算机语言也只是为了得学分, 考过了就忘了, 到高年级真需要用的时候还得重新复习。开设数学实验课有利于改变这种状况。 数学实验课逼迫学生学好计算机知识用来解决数学问题, 数学实验课又为计算机课程提供了大量真刀真枪的练习机会。 二者的结合势必真正提高学生对于计算机知识的掌握水平和应用的能力, 使计算机课程可以用更少的课时取得更好的效果。

数学实验课的开设, 不但本身就是高等数学课程体系的一项改革, 而且必将促进其它许多相关课程的改革。

三、试点的效果:

我们希望达到的效果不是向学生灌输多少理论知识, 而是让他们自己动手去做, 自己去体验解决问题的过程, 自己去观察实验中出现的现象和得到的结果,自己去总结规律。 并且, 通过这个过程激发学生学习数学的兴趣, 提高学习和应用数学的能力。 我们全学期布置了 9 个实验, 但并不要求每个学生全部完成,但要求他们对所完成的实验一定要自己动手, 不要从书上和别人那里去抄实验结果。 从学生完成的实验报告看, 大部分学生都达到了这个要求, 有30名左右的学生完成了全部 9 个实验, 多数学生完成了 4 到 5 个实验, 绝大多数实验报告都写了自己观察到的实验结果, 许多还进行了分析和讨论。 除了实验报告外,许多学生还写了一份小结, 谈了自己的感想、收获, 并且全都对我们试点中的不足之处及如何改进提出了批评和建议, 反映了他们对这个课程的喜爱和关心。

下面是从学生的小结中摘录出来的一部分内容。 其中提到的学生姓名、专业都是真实的, 摘录的也都是原话, 没有任何改动。

选这门课时，我完全不知道“数学实验”是怎么一门课。 但学完回首, 它竟成了我本学期所有课(包括必修课)中学得最认真最投入, 收获也最大的一门。 它让我拣起了丢掉近三年的 C语言, 把我带进混沌与分形的美妙世界; 让我在基础数学实验面前感叹数学的奇妙; 使我认识了并用极大的兴趣去学用 Mathematica 软件。

整体来看这门课是计算机与数学结合的课程。 用计算机模拟数学的现象和过程, 加深对数学的理解并发现某些结论; 应用数学到生活的各种实践中去, 用数学来解决实际问题。

就这一门课来说, 我喜欢它现在的形式: 不系统。 我觉得如果系统化了会少了不少乐趣。 而象现在这种讲座式的形式才最符合它的本来面目。

一个学期的数学实验课已经结束了。 回想刚上课时的人头攒动和好奇新鲜,还有几个月以来的学习, 有成功画出图象后的喜悦, 也有反复调试却总不理想的苦恼。

学校开这门课是对的。 至少因它引起的喜悦和苦恼就已说明它成功了一半,不象一些别的选修课，上下来没有一点感觉和可回忆之处。 这门课的特别之处，就是不强调传授多少知识和方法, 而是希望通过这门课激发我们的兴趣和动手去实践,去自己探索, 这使得我们不得不想尽自己学过的一丁点计算机知识, 找遍图书馆有关方面的藏书。 虽然有些书我们我们看不懂, 有些题我们做不出, 但我们认真看了, 认真想了, 就如老师所说的, 只要去做了, 就已经是完成作业了。 由于老师的这一片苦心, 我们上这门课没有压力, 全靠那一股兴趣。 激发学生的兴趣,我认为这种教育方式已经成功了一大半。 这也是这门课的特点。

数学实验课给我的感觉是：深入浅出、新颖灵活。课上所讲的内容，是我们身边的数学，这些东西或是我们没有想到的、或是在头脑中一瞬即逝的。数学并不神秘，……

正如老师在课堂上所讲的开设这门课的目的是让学生自己动手，感受数学、贴近数学，使数学的面孔看起来不再死板、陌生。事实上也基本上做到了这一点。……

我感到数学实验课跟别的选修课大不相同。学习这门课也不轻松。但是，我的兴趣也被调动了起来，使我乐意在一些问题上钻研。有时调试正酣，甚至不愿去吃饭。经过努力，我实实在在地学到了一些东西，而且还提高了自己的计算机应用能力。

我们总共收到了 32 份学生的小结, 其中包括他们的体会和建议。 由于篇幅所限, 就不能一一摘引了。 所有的小结的共同点是: 数学实验激发了他们对数学的兴趣。 实验作业对很多人来说并不轻松 (这主要是对计算机还掌握得不熟),但他们心甘情愿, 甚至废寝忘食去完成。 在这个过程中, 他们体会到了数学的美妙, 体验了发现规律的乐趣。 另一个共同点是: 所有的小结都对我们的试点课的不足之处提出了或多或少的批评和建议。 这也是一个成功: 说明他们已经把这门课的建设看作自己的事情, 用自己的一片爱心去呵护它。 综合学生的意见和我们自己的看法, 有下列问题值得注意和改进。

四、几个问题和改进意见:

1．最突出一个问题是课程内容和作业的分量。 我们安排了9个实验, 每两周做一个实验。 每次实验先由教师讲解实验内容、问题的背景、实验原理和方法,占 2课时。 两周中的其余 3次课都是安排学生上机, 教师辅导, 希望学生在两周中完成实验作业。 但实践结果, 学生普遍反应作业任务比较繁重, 有的学生甚至因觉得自己无法完成所有的作业而中途退出了。 我们觉得, 实验所涉及到的数学知识难度不大。 对一些有较深刻背景的数学知识, 我们没有要求学生去系统学习理论, 只要求他们通过实验去观察, 有兴趣的可以自己去找参考书进一步了解,但这不作为课程的要求。 主要的困难在于学生的计算机水平不够, 因此完成作业要花很多时间。 他们虽然也学过或正在学计算机课程, 但学过不用就忘了。 数学实验课几乎是逼迫学生重新拣起或现学现用计算机知识, 用来完成作业。 这当然是一件好事, 但也等于是用数学实验的课时去完成本应在计算机课程中完成的一部分任务, 当然就显得紧张了。 看来, 一学期做 5个实验比较适中, 也能达到让学生动手体验数学的目的。 但实验涉及的内容嫌单薄了些。 我们设想可以这样解决: 老师上课仍然安排 9 至 10 个实验, 但学生不必在这学期内全部完成, 可以在下学期自己将它补作完, 交出实验报告。 当然, 教材中可以写更多的实验(我们打算写 25 个), 学生在以后任何一学期自己去选作。

2．对实验结果的反馈和讲评。 不少学生建议, 在学生做实验之前, 老师的讲解应当充分留有余地让学生自己去设计和摸索, 不要把学生变成只是机械执行既定步骤的机器人。 也就是说, 老师不必讲得太细。 但是, 在实验之后, 学生希望对他们的实验报告有讲评。 这个要求是合理的。 讲评中就可以对实验的步骤、出现的问题及解决办法、实验的结果及发挥等做比较全面的回答, 使学生有所遵循, 获得提高。 讲评应包括采用现代化教学手段演示实验结果。 应采用讨论式,不仅教师讲, 学生也讲他们的做法并且进行演示, 还可以互相提问、解答、质疑、争论。

3．实验与理论的关系。 数学实验的每一个问题当然要牵涉到理论背景, 老师对此也可以有简单的介绍, 但千万不要占用过多时间讲成理论推导课。 许多问题本来可以通过理论推导来解决, 但那不是数学实验课的内容。 我们都让学生自己动手、采用数值方法或图形方法来解决这些问题, 以获得一个直观的认识。 然后, 被激发起兴趣的学生可以自己去通过理论推导重新解决这个问题, 但这也不作为数学实验课本身的内容来要求。 在教材中, 我们采取写阅读材料或推荐参考书的方式来满足学生对理论提高的要求。 有的学生希望多讲一些理论, 另一些学生则认为应当少讲理论。 我们说: 能够通过实验使很多学生希望多学理论, 这就是好事情。 将他们学习数学理论的兴趣激发起来了, 胃口吊起来了, 这门课的目的就达到了。 胃口吊起来之后希望多"吃"一些, 那不是本课程的任务, 我们指导学生通过看参考书和学习其它课程来满足他们对于理论学习的渴求。

以上是我们对于开设数学实验课的想法和作法。 数学实验课的开设在我国还是一件新的事情, 处于摸索阶段。 怎样开设, 势必有许多不同的想法和作法。 我们认为, 现阶段应当鼓励各种不同的想法和作法, 各自进行自己的探索和试点。可以而且应当相互交流, 但不必统一, 也不必争论哪种做法更好。 现在首先是要先干起来, 经过若干年实践去积累和总结经验, 根据实践的效果来逐渐完善和成熟。

（李尚志）